Контрольная работа по Математике (решения 5 заданий)

01.03.17 в 21:00

Содержание

Задание №1…………………………………………………………………3

Задание №2…………………………………………………………………4

Задание №3…………………………………………………………………5

Задание №4…………………………………………………………………6-8

Задание №5…………………………………………………………………8-9

Библиографический список……………………………………………….10

Задание №1: Найти пределы.

1)lim┬(x→5)⁡〖(x^3-125)/(x-5)〗=lim┬(x→5)⁡〖(5^3-125)/(5-5)=0/0〗.

Чтобы избавиться от этой неопределенности, используем математические формулы.

lim┬(x→5)⁡〖(x^3-125)/(x-5)〗=lim┬(x→5)⁡〖(x^3-5^3)/(x-5)〗=lim┬(x→5)⁡〖(x-5)(x^2+5x+25)/(x-5)〗=

=lim┬(x→5)⁡〖(x^2+5x+25)=5^2+5*5+25=75〗.

2)lim┬(x→∞)⁡〖(1+x^3)/(x^2+x^3 )〗=∞/∞.

Задача №2: Найти производные функций.

1)y=5/x^3 +3√(x.)

y^’=(5/x^3 +3√x)’

y^’=-3e^(-2x)*2=-6*e^(-2x)=-6/e^2x

Задание №3: Решить задачу. Найти уравнение касательной проведенной к графику функции:

y=4x-x^2      x_0=-1

y=f(x_0 )+f^’ (x_0 )(x-x_0) –уравнение касательной общий вид.

Задание №4:Исследовать функцию с помощью производных и построить график.

y=x-x^3

1. Найти область определения: областью является вся числовая прямая, т.е.

D (f) =R.

5,6,7) Найти критические точки, для этого приравниваем производную к 0, затем строим числовую прямую и исследуем функцию на возрастание и убывание:

y^’=0

1-3x^2=0

-3x^2=-1

x=±√(1/3)

8. Чертим таблицу, в которой число строк всегда постоянное оно равно 3, заполняем ее и находим точки пересечения с осями OX и OY:

f^’ (±√(1/3))=1-3*〖(±√(1/3)  )〗^2=1-1=0

f(±√(1/3))=±√(1/3)∓〖(√(1/3)  )〗^3=∓0,296

Точки пересечения с осью OX, y=0:

Задание №5: Найти точки экстремума функции нескольких переменных.

z=x^2+xy+y^2-4x-5y

1)Найдем частные производные по x и y:

z_x^’;z_y^’

∆_x=|■(4&1@5&2)|=8-5=3

∆_y=|■(2&4@1&5)|=10-4=6

x=∆_x/∆=3/3=1

y=∆_y/∆=6/3=2

3) Находим производные второго порядка:

z_xx^»=〖(2x+y-4)〗_x^’=2=A

z_yy^»=〖(x+2y-5)〗_y^’=2=C

■(z_xy^»=〖(2x+y-4)〗_y^’@z_yx^»=〖(x+2y-5)〗_x^’ )├ ■(=1@=1)}B

4) Подставим найденные значения в формулу:

∆=AC-B^2

Библиографический список

1.  Математический анализ и линейная алгебра. Учебное – методическое пособие. Под ред. Н.Ш.Кремера.– ВЗФЭИ, 2002.
2. Тетрадь с лекциями Пальчиковой Е.Н.